Practicando Tales y Pitágoras soluciones

Como ya os avisé para estar seguros de que hemos aprendido perfectamente los teoremas de Tales 1 y 2 y el teorema de Pitágoras necesitamos hacer unos ejercicios para practicar:

Vamos con el 1er teorema de Tales: 

1º. ¡A pensar! Comprueba si la siguiente construcción cumple el 1er teorema de Tales.

Los segmento BG y BF son secantes en el punto B y el segmento AC es paralelo al segmento GE por lo que el triángulo BGF contiene a otro triangulo BAH que es proporcional y cumple el teorema.

Los segmentos BF y CE son paralelos, por lo tanto hay dos construcciones en esa figura que cumple el teorema: El triángulo BFD y el triángulo CED, también cumplen el teorema. 

Los segmentos AC y GD son paralelos y los extremos pertenecen a los segmentos BG y BD que coinciden en B, por lo que también cumplen el teorema. 

Concluyendo, la figura al completo cumple el 1er teorema de Tales

2º. Los triángulos ABC y AMN son proporcionales y por ello cumplen el 1er teorema de Tales. Sabemos que la distancia AC = 10 ud; AB= 14 ud y AN= 6 ud. Por la definición del teorema sabemos que MN y BC son segmentos paralelos. 

Calcula el valor de AM

SOLUCIÓN

Por el dibujo sabemos muchas cosas: 

- Los segmentos d1 y d2 se cortan en A

- Los puntos M y B pertenecen a d1 y son distintos de A

- Los puntos N y C pertenecen a d2 y son distintos de A 

Por el enunciado sabemos que MN y BC son paralelos y que cumplen con el 1er teorema de Tales, por lo que podemos aplicar la proporcionalidad entre ambos triángulos. 

AM/AB=AN/AC

Si sustituimos en la expresión con los datos del enunciado:

AM/14=6/10 y por lo que multiplicando el cruz 

AM= 14x6/10 obtenemos la longitud de AM= 8.4 ud

Vamos con el teorema de Pitágoras:

1º. Para calcular la altura de una canasta, me he colocado de tal forma que mi sombra coincide con la de la canasta. En el siguiente dibujo he anotado las medidas. Ayúdame a calcular la altura de la canasta.

Practicando Tales y Pitágoras

Como ya os avisé para estar seguros de que hemos aprendido perfectamente los teoremas de Tales 1 y 2 y el teorema de Pitágoras necesitamos hacer unos ejercicios para practicar:

Vamos con el 1er teorema de Tales: 
1º. ¡A pensar! Comprueba si la siguiente construcción cumple el 1er teorema de Tales.



2º. Los triángulos ABC y AMN son proporcionales y por ello cumplen el 1er teorema de Tales. Sabemos que la distancia AC = 10 ud; AB= 14 ud y AN= 6 ud. Por la definición del teorema sabemos que MN y BC son segmentos paralelos. 

Calcula el valor de AM

Vamos con el teorema de Pitágoras:

1º. Para calcular la altura de una canasta, me he colocado de tal forma que mi sombra coincide con la de la canasta. En el siguiente dibujo he anotado las medidas. Ayúdame a calcular la altura de la canasta.

2º. Mueve los puntos A y B obteniendo diferentes dimensiones y ayuda a Jacinto a conocer todas sus dimensiones:

¡Bueno!
Por hoy ya creo que tenemos bastante para practicar, os voy a dejar unos días para que los hagáis solos y antes de que acabe la semana prometo hacerlos con vosotros por si ha quedado alguna duda. 

Pitágoras

¿Quién fue Pitágoras?

Fuente imagen electricalfacts.com

Su nombre completo era Pitágoras de Samos y fue un matemático y filósofo griego (582 a.C - 507 a.C). Estudió astronomía, música,matemáticas y muchas otras ciencias a lo largo y ancho del mundo conocido, por aquella época, y formó la escuela pitagórica en Crotona, al sur de Italia. Si bien, su vida personal no es lo que nos trae a nosotros hoy aquí, sino el enunciado de un teorema que lleva, como es obvio, su nombre.





¿Qué dice ese teorema?

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pero vamos a ir poco a poco y para poder entender bien éste enunciado os voy a presentar a mi gran amigo Jacinto.

¡Di Hola Jacinto!

Dibujo realizado por Mirian Romero

Mi amigo Jacinto es un triángulo rectángulo, pero no es cualquier triángulo rectángulo. Los lados de Jacinto miden a=3 y b=4 y la hipotenusa h=5. Sí sin unidades, porque ¿quiénes somos nosotros para limitar sus dimensiones? Pueden ser centímetros, metros o incluso kilómetros.

Pitágoras llama a los lados a y b catetos y a h hipotenusa. Por lo que formulada matemáticamente el teorema de Pitágoras quedaría así: h²=b²+c²

Sabemos que Jacinto mide h=5, b=3 y c=4. Si sustituimos los valores numéricos de Jacinto en el teorema obtendríamos la siguiente ecuación:

  5²=3²+4² 

y resolviendo la ecuación 

25=9+16

25=25

 ¡Bien! Jacinto cumple el teorema de Pitágoras.

¿Se cumple siempre el Teorema de Pitágoras o sólo es con Jacinto?

Vamos a comprobarlo con la siguiente animación. Puedes mover los puntos B y C para obtener distintas dimensiones y obtendrás automáticamente el valor de la hipotenusa h.  Solo necesitarás lápiz y papel para calcular la igualdad de Pitágoras.

¡Cuidado! Comprueba que el ángulo C  SIEMPRE sea rectángulo.

¿Se cumple siempre la igualdad? ¿A qué es impresionante?

 Muy bien, ya conocemos otro teorema muy importante de las matemáticas y la geometría. En el próximo post haremos unos ejercicios muy sencillos para fijar los conocimientos de los dos teoremas de Tales y el de Pitágoras. Don't panic! Serán sencillos y cómo siempre los haremos juntos, paso a paso y punto por punto.