Geometría musical

La geometría es un mundo taaan amplio que hasta Fangoria habla de ella.

Verdadera magnitud explicada en diédrico

Ya sé que no se ve bien el applet y es difícil de entender si no se tiene un visión gobal. Puedes abrirlo directamente desde la página de Geogebra en el siguiente enlace o también puedes descargarlo directamente

Sistema Diédrico ¡A Practicar! SOLUCIÓN DEL HEXÁGONO

Hemos tenido todxs un tiempo más que suficiente para resolver el ejercicio que os propuse el otro día y si no lo hemos conseguido, para volvernos locos. ¡Don't panic! Aquí vengo con la solución primero en una imagen y luego paso a paso en el applet de Geogebra:

¿Os ha salido algo parecido? Eso parecido, no tiene que ser igual, porque los datos que tú has cogido son casi seguro, distintos a los míos. 

Sistema Diédrico ¡A practicar!

Os voy a proponer un ejercicio en el que aplicamos conceptos del Sistema Diédrico y sus características:

Os voy a dejar unos días de margen para que lo hagáis vosotros y luego os ayudo con la solución. 

Render

Render es un programa de modelado y puede hacer cosas maravillosas cómo ésta

At least it didn't catch on fire

Arco capaz

Hoy vamos a continuar con un concepto importante de la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central de una circunferencia. Se llama arco capaz y es de gran importancia por su aplicación en la geometría y también porque puede que tengas que aplicarlo como paso intermedio de algún ejercicio con lo que es importante tenerlo bien claro.
Pero bueno, no te preocupes porque es sencillo y además corto y si nos apoyamos en el refranero español: lo bueno (en este caso sencillo) y breve, dos veces bueno.

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo.

Procedimiento de trazado: Vamos a aprender cómo hacerlo paso a paso en el siguiente applet:

Nota: Si conoces el ángulo puedes seleccionarlo, sino cualquiera te vale para aprender como hacer un arco capaz. 

Tienes que ir clicando en los pasos para conocer el proceso.

¿Ha quedado claro? ¿A qué no era difícil?

Ángulos en la circunferencia 2

Ya sé yo que lo que vamos a aprender hoy, os lo sabéis, porque sé que os pudo la curiosidad y estuvísteis trasteando en el blog de Elena, aun así vamos a terminar de explicar los ángulos.

Ángulos exteriores:



Central: es aquel que tiene que su vértice en el centro de la circunferencia y el ángulo queda delimitado por dos radios. La porción de circunferencia que delimitan los lados del ángulo se llama arco.

Interior: es aquel que su vértice está situado dentro de ella, pero OJO, no tiene que ser el centro.



Ángulos periféricos

Inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. El ángulo inscrito mide siempre, siempre, espera que a lo mejor no ha quedado claro, SIEMPRE la mitad que el ángulo central con el que comparte arco y cuerda.

Semiinscrito: es aquel que tiene el vértice en la circunferencia y como lados, una cuerda y la tangente a la circunferencia por el vértice. El valor de éste es también la mitad del ángulo central correspondiente. ¿Siempre? Si, SIEMPRE.

Pero nunca te fíes de las palabras, vamos a comprobarlo en las siguientes construcciones:




Angulos exteriores:  son aquellos que, tieniendo como vértice V un punto exterior a la cincunferéncia, su lados son bisecantes, secante y tangente o bitangentes a la circunferencia.

Y con hoy hemos terminado los ángulos en la circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Ya sabemos lo que son los ángulos. ¡Bien! Ahora vamos a aprender un poco más sobre los ángulos.

Ángulos consecutivos son aquellos que cuentan con un lado en común y un mismo vértice, como en la siguiente imagen:

α y β son ángulos consecutivos

Un concepto muy importante de éstos ángulos para lo que vamos a prender después es que:

- La suma de los ángulos de un triángulo es 180

- La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto es como máximo 360º

- La suma de los ángulos consecutivos alrededor de una recta es como máximo 180º 

¿Ha quedado claro? ¿No? Vamos a verlo en la siguiente imagen:

Una vez que sabemos ésto vamos con lo que nos traía hoy aquí:

LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 

Pueden ser exteriores, periféricos o interiores cómo podéis ver en la siguiente imagen: 

Sí queréis más datos sobre los ángulos individualmente, tenéis que esperar a la siguiente entrega del blog. Si bien, os pueden las ansias de aprender, os dejo el link de una gran compi que tiene todo bien explicado: Se llama Elena y ésta es la estrada de su blog.

Ángulos

Uno de los conceptos básicos que necesitamos manejar en geometría son los ángulos y tener muy claras sus características.  Para ello y cómo siempre vamos a ir punto por punto:

¿Qué es un ángulo?

Es la porción del plano delimitada por dos semirectas a las que se les llama lados del ángulo, denominándose al punto de corte de ambas líneas vértice.

Gráficamente podemos verlo en la siguiente imagen animada de Geogebra:


Cómo siempre puedes mover el punto rosa, en este caso el B y ver cómo varían el valor.

Incheta

Nombre: Incheta DibMáster

Objetivo motivacional: Conseguir “quesitos” de la Incheta otorga un puntuación extra en la evaluación final.
Slogan: Rellena tu Incheta.

Criterios de asignación: Cuando obtengan una puntuación Notable en una actividad, obtendrán un “quesito” de color de la Incheta.

Durabilidad: a lo largo de cada trimestre.

Número máximo de insignias a asignar: Cada alumno tiene la suya

Memoria del diseño: Las chinchetas mantienen papeles fijos, si obtenemos una puntuación determinada indica que hemos mantenido los conocimientos. Para los colores me he inspirado en el trivial y busco conseguir del estudio un juego. Cada color de la insignia-chincheta representa unos conceptos básicos de la asignatura evaluados en una actividad. Rellenar todos los colores de la Incheta implica que has obtenido valoraciones notables a lo largo de la evaluación. 

Practicando Tales y Pitágoras soluciones

Como ya os avisé para estar seguros de que hemos aprendido perfectamente los teoremas de Tales 1 y 2 y el teorema de Pitágoras necesitamos hacer unos ejercicios para practicar:

Vamos con el 1er teorema de Tales: 

1º. ¡A pensar! Comprueba si la siguiente construcción cumple el 1er teorema de Tales.

Los segmento BG y BF son secantes en el punto B y el segmento AC es paralelo al segmento GE por lo que el triángulo BGF contiene a otro triangulo BAH que es proporcional y cumple el teorema.

Los segmentos BF y CE son paralelos, por lo tanto hay dos construcciones en esa figura que cumple el teorema: El triángulo BFD y el triángulo CED, también cumplen el teorema. 

Los segmentos AC y GD son paralelos y los extremos pertenecen a los segmentos BG y BD que coinciden en B, por lo que también cumplen el teorema. 

Concluyendo, la figura al completo cumple el 1er teorema de Tales

2º. Los triángulos ABC y AMN son proporcionales y por ello cumplen el 1er teorema de Tales. Sabemos que la distancia AC = 10 ud; AB= 14 ud y AN= 6 ud. Por la definición del teorema sabemos que MN y BC son segmentos paralelos. 

Calcula el valor de AM

SOLUCIÓN

Por el dibujo sabemos muchas cosas: 

- Los segmentos d1 y d2 se cortan en A

- Los puntos M y B pertenecen a d1 y son distintos de A

- Los puntos N y C pertenecen a d2 y son distintos de A 

Por el enunciado sabemos que MN y BC son paralelos y que cumplen con el 1er teorema de Tales, por lo que podemos aplicar la proporcionalidad entre ambos triángulos. 

AM/AB=AN/AC

Si sustituimos en la expresión con los datos del enunciado:

AM/14=6/10 y por lo que multiplicando el cruz 

AM= 14x6/10 obtenemos la longitud de AM= 8.4 ud

Vamos con el teorema de Pitágoras:

1º. Para calcular la altura de una canasta, me he colocado de tal forma que mi sombra coincide con la de la canasta. En el siguiente dibujo he anotado las medidas. Ayúdame a calcular la altura de la canasta.

Practicando Tales y Pitágoras

Como ya os avisé para estar seguros de que hemos aprendido perfectamente los teoremas de Tales 1 y 2 y el teorema de Pitágoras necesitamos hacer unos ejercicios para practicar:

Vamos con el 1er teorema de Tales: 
1º. ¡A pensar! Comprueba si la siguiente construcción cumple el 1er teorema de Tales.



2º. Los triángulos ABC y AMN son proporcionales y por ello cumplen el 1er teorema de Tales. Sabemos que la distancia AC = 10 ud; AB= 14 ud y AN= 6 ud. Por la definición del teorema sabemos que MN y BC son segmentos paralelos. 

Calcula el valor de AM

Vamos con el teorema de Pitágoras:

1º. Para calcular la altura de una canasta, me he colocado de tal forma que mi sombra coincide con la de la canasta. En el siguiente dibujo he anotado las medidas. Ayúdame a calcular la altura de la canasta.

2º. Mueve los puntos A y B obteniendo diferentes dimensiones y ayuda a Jacinto a conocer todas sus dimensiones:

¡Bueno!
Por hoy ya creo que tenemos bastante para practicar, os voy a dejar unos días para que los hagáis solos y antes de que acabe la semana prometo hacerlos con vosotros por si ha quedado alguna duda. 

Pitágoras

¿Quién fue Pitágoras?

Fuente imagen electricalfacts.com

Su nombre completo era Pitágoras de Samos y fue un matemático y filósofo griego (582 a.C - 507 a.C). Estudió astronomía, música,matemáticas y muchas otras ciencias a lo largo y ancho del mundo conocido, por aquella época, y formó la escuela pitagórica en Crotona, al sur de Italia. Si bien, su vida personal no es lo que nos trae a nosotros hoy aquí, sino el enunciado de un teorema que lleva, como es obvio, su nombre.





¿Qué dice ese teorema?

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pero vamos a ir poco a poco y para poder entender bien éste enunciado os voy a presentar a mi gran amigo Jacinto.

¡Di Hola Jacinto!

Dibujo realizado por Mirian Romero

Mi amigo Jacinto es un triángulo rectángulo, pero no es cualquier triángulo rectángulo. Los lados de Jacinto miden a=3 y b=4 y la hipotenusa h=5. Sí sin unidades, porque ¿quiénes somos nosotros para limitar sus dimensiones? Pueden ser centímetros, metros o incluso kilómetros.

Pitágoras llama a los lados a y b catetos y a h hipotenusa. Por lo que formulada matemáticamente el teorema de Pitágoras quedaría así: h²=b²+c²

Sabemos que Jacinto mide h=5, b=3 y c=4. Si sustituimos los valores numéricos de Jacinto en el teorema obtendríamos la siguiente ecuación:

  5²=3²+4² 

y resolviendo la ecuación 

25=9+16

25=25

 ¡Bien! Jacinto cumple el teorema de Pitágoras.

¿Se cumple siempre el Teorema de Pitágoras o sólo es con Jacinto?

Vamos a comprobarlo con la siguiente animación. Puedes mover los puntos B y C para obtener distintas dimensiones y obtendrás automáticamente el valor de la hipotenusa h.  Solo necesitarás lápiz y papel para calcular la igualdad de Pitágoras.

¡Cuidado! Comprueba que el ángulo C  SIEMPRE sea rectángulo.

¿Se cumple siempre la igualdad? ¿A qué es impresionante?

 Muy bien, ya conocemos otro teorema muy importante de las matemáticas y la geometría. En el próximo post haremos unos ejercicios muy sencillos para fijar los conocimientos de los dos teoremas de Tales y el de Pitágoras. Don't panic! Serán sencillos y cómo siempre los haremos juntos, paso a paso y punto por punto.

Conceptos Preliminares: Teorema de Tales II

Ya estoy aquí con la segunda entrega de los Teoremas de Tales, si recuerdas bien en el anterior post ya aprendimos el 1^er teorema. Ahora vamos a aprender, cómo hasta ahora: poco a poco y juntos, el 2º teorema de Tales.

¿Qué dice?

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Como ves seguimos hablando de geometría, pero ésta vez, está enfocado a triángulos rectángulos, circunferencias y ángulos inscritos.

Ilustración del enunciado del 2º teorema de Tales.

Te preguntarás...¿pero siempre siempre se cumple? Vamos a comprobarlo en la siguiente animación. Puedes interactuar con el punto X y el punto B.



Habrás comprobado que el ángulo de B, en algunos casos pasa a medir 270º. Simplemente es porque la aplicación mide el ángulo comprendido entre C y A y no siempre ese ángulo es interior, por lo que pasa a medir el exterior que es 360º-90º=270º.

También te habrás dado cuenta de que NO puedes mover el punto A ni C por separado, es debido a la condición del teorema de que AC tiene que ser siempre el diámetro de la circunferencia y por lo tanto pasar por O.

Por lo tanto podemos, ahora ya sí, afirmar que siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto. 

¿Para qué te puede ser útil el 2º Teorema?

Es importante en la construcción de tangentes a una circunferencia, dadas las dimensiones de la circunferencia y el punto de tangencia.

Pero uff, hoy también tenemos un montón que asimilar, fijemos éste segundo teorema y ya aprenderemos a hacer tangencias.

En el próximo post, te explicaré otro teorema super interesante y te presentaré a mi gran amigo Jacinto.

Conceptos preliminares: Teorema de Tales I

¿Quién es (o en este caso fue) Tales?

Fue muchas cosas, pero lo que nos importa es que era matemático griego del siglo VI a. C. Considerado uno de los Siete Sabios de Grecia, comenzó aplicar el pensamiento deductivo a la geometría y se le atribuyen dos teoremas geométricos.

¿Cuales son esos teoremas?

El primero dice: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra. Permitiéndonos así calcular la longitud de un segmento si conocemos su homólogo en la otra recta y la proporción entre ambos.

Teorema de Tales. Dibujo de Mirian Romero

Esta idea aplicada a un triángulo nos enuncia lo siguiente: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de sus lados, BC; junto con el punto A se obtiene otro triángulo AB'C', semejante cuyos ángulos son iguales y los lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Teorema de Tales. Dibujo de Mirian Romero

Paso a paso: 1^er teorema de Tales

Si quieres hacer el dibujo conmigo necesitarás lápiz y una regla además de escuadra y cartabón

Hacemos dos rectas cualesquiera no paralelas, en nuestro caso f y g. Marcamos un punto en una de las rectas, por ejemplo I.

Por el punto I hacemos una recta, h, que corta a la recta g en el punto J

Hacemos ahora una paralela a la recta h, yo la he llamado i, y obtenemos los puntos K y L. 

Repitiendo el proceso anterior obtengo M y N con la recta j que es paralela a j y a h

Ahora vamos a comprobar si lo que dice Tales es cierto: mide cuidadosamente, por ejemplo, los segmentos IK, JL, KM y LN. Comprueba si se cumple la igualdad de la imagen.

¿Te ha salido? Si quieres puedes comprobar el resto de igualdades y comprobar si se cumplen también.

Si no te sale exacto no pasa nada, hemos podido cometer algún error al dibujar o al medir. 

Te he explicado el proceso con datos genéricos, puede que tu ya tengas algunos de los datos, sólo tienes que usarlos y seguir el proceso.

Hoy hemos aprendido un montón, el segundo teorema es igual de interesante pero tendrás que esperar al siguiente post.

Poco a poco

Hola.

Sí a tí.

Sé que nos acabamos de conocer y que no sé mucho de tí pero si has llegado hasta "Vamos punto a punto" una cosa tengo clara, vamos a hacer juntos un viaje y lo vamos a hacer despacito y con buena letra.  

¿Quien soy yo? Te preguntarás. 

Cierto, que desconsiderado por mi parte no haberme presentado antes que nada. 

Bien, me llamo Mirian Romero y soy Arquitecta técnica y para completar mi formación estoy haciendo el Máster en profesorado de educación secundaria y FP en el ICE de la UPM. 

Ahora sí ¿no?

Un placer conocerte

Lee y aprende pero sobre todo disfruta