Distancias en diédrico

Uis que de publicaciones seguidas ¿no? Será que estos temas del diédrico hay que estudiarlos de seguido y son todos ellos muy importantes para entender lo que se nos avecina....será quizás, sólo quizás. Bueno dicho esto me meto de lleno con el tema que nos trae hoy aquí: Distancias en el sistema diédrico. 

Como ya he perfilado, el tema de distancias es bastante importante, ya que nos permite conocer la verdadera magnitud del segmento estudiado, las distancias entre los objetos, etc. Así voy a daros unas nociones básicas de cómo calcular:

1. La distancia entre 2 puntos
2. La distancia entre un punto y un plano
3. La distancia entre un punto y una recta.

y dejaremos para una siguiente edición, casos especiales como:

• La distancia entre 2 planos paralelos
• La distancia entre 2 rectas paralelas
• La distancia entre 2 rectas que se cruzan

Pero empecemos por el principio: 

Distancia entre 2 puntos

Para calcular la distancia a la que se encuentran dos puntos en el espacio podemos hacer varias transformaciones, que no hemos aprendido todavía (giro, abatimiento, cambio de plano) o podemos hacer la simplificación que vamos a aprender:

Para segmento cualquiera oblicuo, necesitamos calcular o medir la diferencia de cotas y desde uno de los puntos de la proyección horizontal, el que quieras, de verdad, el que más coraje te dé, dibujar una perpendicular al segmento y trasladar la distancia de diferencia de cotas. Al unir el punto resultante con la proyección del otro extremo del segmento obtenemos una distancia que es la verdadera magnitud del segmento dado. ¿Te has enterado de algo? Mejor lo vemos en un vídeo ¿verdad?

¿Más claro? ¡Donde va a parar!...Peeeero hay un par de casos en los que este método, lamentablemente no nos sirve, como por ejemplo cuando las proyecciones se confunden cómo en rectas de perfil y rectas de punta. Y otro caso en el que nos nos hace falta porque ya tenemos las proyecciones en verdadera magnitud, que son las rectas horizontales y verticales

Distancia de un punto a un plano
Cuando nos piden esta distancia, se les olvida decirnos que quieren la mínima distancia. Así para calcular la distancia entre un punto P y un plano α debemos apoyarnos en conceptos ya estudiados y el sentido común: La mínima distancia entre dos "objetos" es la que recorre la perpendicular, por tanto, necesitaremos calcular la recta R perpendicular al plano α que pasa por el punto P y que calcules la distancia como te acabamos de aprender entre el punto P y el punto I de intersección del plano α y la recta R. Me dejo de letras, mejor veamos un vídeo.

Como en todo hay niveles de dificultad, lo "más" difíciles son con planos oblicuos, en planos proyectantes, paralelos a la LT o paralelos a los planos de proyección donde vemos distancias en verdadera magnitud todo es muuucho más sencillo. Sólo tendrás que trazar perpendiculares o apoyarte en el plano de tercera proyección. 

Distancia de un punto a una recta

La distancia entre un punto P y una recta R se apoya, al igual que el caso anterior, en buscar la mínima distancia a través de la perpendicularidad de un plano que contenga a la recta y que pase por el punto. En este caso, trazaremos un plano perpendicular a la recta que contenga al punto P, calcularemos la intersección de R con el plano y calcularemos la verdadera magnitud entre el punto I intersección y el punto P. 

Y con esto creo que tenemos conceptos más que suficientes para iniciarnos en el mundo de las distancias en diédrico. 

Paralelismo en el sistema diédrico

Hoy vamos a completar el temario en diédrico con los casos posibles de paralelismo pero antes de nada vamos a explicar qué es el paralelismo. 

Definición de paralelismo.

Dos elementos son paralelos cuando mantienen una distancia constante no manteniendo ningún punto en común, es decir nunca se cortarán. 

Aplicamos este concepto a los tres casos de paralelismo que veremos: paralelismo entre rectas, entre planos y entre recta y plano. 

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas entre sí cuando sus proyecciones, PV y PH, son paralelas entre sí; es decir: Decimos que R y S son paralelas si la PV de r es paralela a la PV de s y de igual manera con la PH. Esto se cumple salvo en las rectas de perfil, ya que al ser sus proyecciones perpendiculares a la LT, no  podemos observar con claridad este fenomeno. Abatiremos sobre el plano de perfil para poder saber si dos rectas son paralelas o no. 

Rectas paralelas a los planos: Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta contenida en el plano. De esta frase podemos deducir que el paralelismo entre rectas y planos no se vé directamente en el diédrico, necesitaremos comprobarlo con una recta auxiliar. 

En relación a este concepto pueden pedirnos varios casos: 

- El primero es comprobar que una recta dada, R, es paralela a un plano dato. Para resolver éste tipo de ejercicios debes dibujar una recta cualquiera, S por ejemplo, contenida en el plano y por un punto arbitrario de S intentar trazar una recta paralela a R. Si la nueva recta paralela a R por un punto de S queda contenida en el plano, obtendremos como solución que R es paralela al plano.  


- Dibujar una recta paralela a un plano pasando por un punto. Y como siempre es más cómodo ver un vídeo que leer los procesos, aquí os lo dejo: 

  - Dibujar un plano paralelo a una recta pasando por un punto o conteniendo a otra recta. 

Planos paralelos: Dos planos son paralelos entre sí cuando sus trazas son paralelas. Es decir volvemos a ver el paralelismo directamente en el diédrico y debemos de nuevo fijarnos en que las proyecciones verticales y horizontales sean paralelas entre sí.

Los ejercicios dependiendo de los datos pueden tener una solución, varias o infinitas. Os voy a dejar un video con un ejercicio de ejemplo porque las cosas siempre son más fáciles cuando se ven y dibujan. 

Excepciones: Al igual que en las rectas, tenemos que tener cuidado con los los planos excepcionales como son los paralelos a la LT y los planos que la contienen. 
Estos tipos de planos tienen de por sí las trazas paralelas, pero eso no indica que sean paralelos. Debemos ayudarnos de la tercera proyección y comprobar el paralelismo en ella. 

Con esto he terminado de explicarte paralelismo en el sistema diédrico. Recuerda que:
- Vemos directamente en el diédrico, el paralelismo entre planos y entre rectas
- Necesitamos apoyarnos en la tercera proyección en las rectas de perfil y en los planos paralelos a la LT y que la contienen.
- El paralelismo entre recta y plano necesita de una recta auxiliar paralela a la dada. 

Ánimo chicos que este tema es el más facilito de todos, después de perpendicularidad, cualquier cosa es coser y cantar. 

Como es costumbre os dejo una batería de ejercicios para que practiquéis. Recordad que si tenéis dudas estoy disponible en los comentarios y en clase. 

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

Perpendicularidad en diédrico II

En el post anterior sobre perpendicularidad, aprendimos a trazar rectas perpendiculares a planos y rectas perpendiculares a rectas. También dedujimos que un plano perpendicular a una recta contiene infinitas rectas perpendiculares a un plano y por consiguiente a dicha recta y con esta deducción hemos introducido el tema de hoy: trazar planos perpendiculares a una recta y planos perpendiculares entre sí. 

Plano perpendicular a una recta

Ya aprendimos que una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de la recta, por lo que si sabemos trazar una recta perpendicular a un plano, sabemos trazar un plano perpendicular a una recta. 

Debemos tener cuidado con las rectas de perfil, ya que es la situación en la que no vemos la perpendicularidad en las proyecciones diédricas y debemos utilizar el plano auxiliar de perfil para ver realmente la recta. 

En el siguiente video y como ya explicamos en clase, vamos a dibujar un plano perpendicular a una recta conteniendo un punto. 

 

Plano perpendicular a otro plano

Para trazar un plano perpendicular a otro debemos apoyarnos de nuevo en la deduccion que hicimos antes pero esta vez vamos a contener la recta perpendicular al plano en otro plano; pudiendo enunciar que dos planos son perpendiculares entre sí cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro. 

- La solución son los infinitos planos que contienen a una recta perpendicular al plano dado. - Las trazas de ambos planos no tienen porqué ser perpendiculares. 

Como llevamos haciendo, vamos a apoyarnos en la resolución de un ejercicio paso a paso en un vídeo para reforzar todo lo que hemos aprendido.

Básicamente ya hemos aprendido los casos de perpendicularidad posibles y los conceptos para deducir los métodos para resolver las posibles soluciones a cualquier ejercicio.

Próximamente vamos a explicar paralelismo y vas a comprobar que es mucho más sencillo que éstos dos últimos posts. 

Perpendicularidad en diédrico I

Hoy voy a tratar uno de los temas fundamentales del Sistema Diédrico: la perpendicularidad. 

Es un tema muy importante porque nos va a ser muy útil para calcular distancias. Vamos a explicar por separado, y paso a paso como siempre, los casos de perpendicularidad, verás como no encontráis mayor complicación. 

Recta perpendicular a un plano

Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano. 

Para dibujar una recta perpendicular a un plano dado por un punto, simplemente tendremos que dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano pasando por el punto.

Y como una imagen, en este caso un video vale más que mil palabras, aquí os dejo un video explicando todo el proceso: 

Existen excepciones y son los planos paralelos o que contengan a la línea de tierra. En dichos casos la recta perpendicular es una recta de perfil y necesitaremos del plano auxiliar de 3a proyección para dibujar la recta.

Rectas perpendiculares entre sí

Dos rectas son perpendiculares entre sí en el espacio, por lo general, no tienen sus proyecciones perpendiculares. Únicamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección, en las proyecciones de ambas rectas podemos ver la perpendicularidad. 

Me explico: 
- Si dadas dos rectas, una de ellas horizontal, si las proyecciones horizontales son perpendiculares, las rectas son perpendiculares. 
- Si dadas dos rectas, una de ellas frontal, si las proyecciones verticales son perpendiculares, las rectas en el espacio son perpendiculares.

Vamos a ver un ejercicio de perpendicularidad entre recta plano:

Hasta el momento hemos aprendido que una recta es perpendicular a otra cuando está contenida en un plano perpendicular a dicha recta. Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.


Con lo cual sin pillarnos mucho los dedos, podemos deducir que un plano perpendicular a una recta contiene infinitas rectas perpendiculares a dicha recta. 

Con esta deducción lo dejamos por hoy, en el próximo post nos apoyaremos en esta última frase para explicar cómo trazar planos perpendiculares a una recta y planos perpendiculares entre sí.

No me quiero despedir sin haberos dejado antes unos ejercicios para fijar los conceptos que hemos aprendido hoy: 

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

Diédrico: Ángulos que forman dos segmentos

Hola a todxs!

Hoy he dejado una duda sin responder en la clase de 2º de Bachillerato de mi cole de prácticas y me he puesto las pilas para resolver el ejercicio planteado y voy a explicar cómo se soluciona paso a paso, como siempre hago. 

Veamos el enunciado: 

Sabemos realizar distintas operaciones con ángulos en diédrico: calcular el ángulo que forman dos rectas, dos planos, recta y plano por medio de abatimiento. "Pero Miriam, tenemos dos segmentos, no tenemos rectas y planos". Un segmentos es un trozo de recta y si nuestros segmentos se cortan en un punto (como es nuestro caso) podemos formar un plano con 3 puntos.

Pues justo eso es lo que tenemos que hacer: Definimos un plano, en nuestro caso un triángulo formado por BVC.

Ahora abatimos el triángulo formado por BVC sobre el PH usando como charnela el segmento B'C'

Estoy segura de que sabemos hacer abatimientos te doy la solución 

El ángulo obtenido es el ángulo en verdadera magnitud que forman los segmentos VB y VC. ¡BIEN!

Para hallar el ángulo que forma el segmento a con el B no tenemos la facilidad de ver en verdadera magnitud ninguna de sus proyecciones, por lo que tendremos que girar el segmento hasta colocarlo en una posición favorable. También sabemos hacer giros, por lo que ahorro la explicación (muajaja).

 

Y ahora sí, repitiendo el proceso de abatimiento, del triángulo AVB , obtenemos el ángulo que forman los dos segmentos (a y b).

Ya tenemos el ejercicio explicado paso a paso, resuelto y listo para que transformes mis explicaciones en tu papel. Si todavía te quedan dudas o hay cosas que no te han quedado claras, recuerda que la sección de comentarios está abierta y que lo leo y contesto todo.

Intersección de recta con plano en diédrico

La intersección de rectas y planos, como hemos aprendido, es un pequeño anexo de la intersección entre planos y teniendo los conocimientos claros de ese tema la aplicación del método general para obtener la intersección de recta con plano no tiene más misterio. 

Método general

Dados un plano α y una recta r tendremos que encontrar la intersección de α con r.

- Dibujamos un plano β que contenga a la recta R. Es decir, dibuja un plano que cuyas trazas contenga a las trazas de la recta. Como hemos visto en clase, podemos usar cualquier tipo de plano, pero lo más sencillo es utilizar planos proyectantes (proyectante horizontal o vertical) o planos paralelos a los planos de proyección (plano horizontal o frontal).

- Encuentra la recta intersección s de los planos α, β. Sigue los pasos explicados en clase y reforzados en el anterior post de intersección de planos

- El punto de intersección I (i’-i) de la recta s con la recta dada r es la solución, es decir, la intersección del plano α con la recta r. No te olvides de dibujar las dos proyecciones del punto.

De nuevo os pongo un video que explica paso a paso lo que está escrito antes. 

Como en el caso anterior también os dejo adjunto un link para descargar un archivo con ejercicios en pdf para practicar. (NO SON DEBERES, ES PARA PRACTICAR Y VER CASOS RAROS EN CLASE)

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

PD. (edición 20.45 pm) He tenido un problema y creo que no habéis podido ver las entradas hasta hace bien poquito. Error mío, lo siento. Para recompensaros, os voy a dejar un enlace a una página web que es maravillosa, que nos explica todo paso a paso y en donde podemos hacer ejercicios online. Es de José Antonio Cuadrado y nos explica las intersecciones en diédrico de una manera muy sencilla.

INTERSECCIONES EN DIÉDRICO 

Intersección de planos en diédrico

La intersección de 2 planos en el espacio es una recta.

Esta recta como ya hemos aprendido en clase es común a ambos planos, es decir, pertenece a ambos planos simultáneamente.

Para esta recta, y cualquiera, sólo necesitamos 2 puntos de la misma y eso es lo que 
haremos para encontrar la recta de intersección. 

¿Cuales son estos dos puntos cuando tenemos dos planos?
Estos dos puntos los conseguiremos de la intersección de dos pares de rectas. Para que nos sea más sencillo, lo mejor será que utilicemos las trazas del plano. Las trazas del plano son las rectas de intersección de un plano con los planos de proyección. Por tanto, si utilizamos las trazas de los planos estamos utilizando rectas coplanarias y como consecuencia nos estamos asegurando que se cortan. 

Os voy a dejar un video explicativo para reforzar los conocimientos sobre el tema y una batería de ejercicios en pdf para practicar. (NO SON DEBERES, ES PARA PRACTICAR Y VER CASOS RAROS EN CLASE)

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

Muchos de los ejercicios ya los habéis hecho, los que os resulten de gran dificultad o no sepamos hacer, los vemos en clase.

PD. (edición 20.30 pm) He tenido un problema y creo que no habéis podido ver las entradas hasta hace bien poquito. Error mío, lo siento. Para compensaros, os voy a dejar un enlace a una pagina web que es maravillosa, que nos explica todo paso a paso y en donde podemos hacer ejercicios online. Es de José Antonio Cuadrado y nos explica las intersecciones en diédrico de una manera muy sencilla.

INTERSECCIONES EN DIÉDRICO