Pitágoras

¿Quién fue Pitágoras?

Fuente imagen electricalfacts.com

Su nombre completo era Pitágoras de Samos y fue un matemático y filósofo griego (582 a.C - 507 a.C). Estudió astronomía, música,matemáticas y muchas otras ciencias a lo largo y ancho del mundo conocido, por aquella época, y formó la escuela pitagórica en Crotona, al sur de Italia. Si bien, su vida personal no es lo que nos trae a nosotros hoy aquí, sino el enunciado de un teorema que lleva, como es obvio, su nombre.





¿Qué dice ese teorema?

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pero vamos a ir poco a poco y para poder entender bien éste enunciado os voy a presentar a mi gran amigo Jacinto.

¡Di Hola Jacinto!

Dibujo realizado por Mirian Romero

Mi amigo Jacinto es un triángulo rectángulo, pero no es cualquier triángulo rectángulo. Los lados de Jacinto miden a=3 y b=4 y la hipotenusa h=5. Sí sin unidades, porque ¿quiénes somos nosotros para limitar sus dimensiones? Pueden ser centímetros, metros o incluso kilómetros.

Pitágoras llama a los lados a y b catetos y a h hipotenusa. Por lo que formulada matemáticamente el teorema de Pitágoras quedaría así: h²=b²+c²

Sabemos que Jacinto mide h=5, b=3 y c=4. Si sustituimos los valores numéricos de Jacinto en el teorema obtendríamos la siguiente ecuación:

  5²=3²+4² 

y resolviendo la ecuación 

25=9+16

25=25

 ¡Bien! Jacinto cumple el teorema de Pitágoras.

¿Se cumple siempre el Teorema de Pitágoras o sólo es con Jacinto?

Vamos a comprobarlo con la siguiente animación. Puedes mover los puntos B y C para obtener distintas dimensiones y obtendrás automáticamente el valor de la hipotenusa h.  Solo necesitarás lápiz y papel para calcular la igualdad de Pitágoras.

¡Cuidado! Comprueba que el ángulo C  SIEMPRE sea rectángulo.

¿Se cumple siempre la igualdad? ¿A qué es impresionante?

 Muy bien, ya conocemos otro teorema muy importante de las matemáticas y la geometría. En el próximo post haremos unos ejercicios muy sencillos para fijar los conocimientos de los dos teoremas de Tales y el de Pitágoras. Don't panic! Serán sencillos y cómo siempre los haremos juntos, paso a paso y punto por punto.

Conceptos Preliminares: Teorema de Tales II

Ya estoy aquí con la segunda entrega de los Teoremas de Tales, si recuerdas bien en el anterior post ya aprendimos el 1^er teorema. Ahora vamos a aprender, cómo hasta ahora: poco a poco y juntos, el 2º teorema de Tales.

¿Qué dice?

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Como ves seguimos hablando de geometría, pero ésta vez, está enfocado a triángulos rectángulos, circunferencias y ángulos inscritos.

Ilustración del enunciado del 2º teorema de Tales.

Te preguntarás...¿pero siempre siempre se cumple? Vamos a comprobarlo en la siguiente animación. Puedes interactuar con el punto X y el punto B.



Habrás comprobado que el ángulo de B, en algunos casos pasa a medir 270º. Simplemente es porque la aplicación mide el ángulo comprendido entre C y A y no siempre ese ángulo es interior, por lo que pasa a medir el exterior que es 360º-90º=270º.

También te habrás dado cuenta de que NO puedes mover el punto A ni C por separado, es debido a la condición del teorema de que AC tiene que ser siempre el diámetro de la circunferencia y por lo tanto pasar por O.

Por lo tanto podemos, ahora ya sí, afirmar que siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto. 

¿Para qué te puede ser útil el 2º Teorema?

Es importante en la construcción de tangentes a una circunferencia, dadas las dimensiones de la circunferencia y el punto de tangencia.

Pero uff, hoy también tenemos un montón que asimilar, fijemos éste segundo teorema y ya aprenderemos a hacer tangencias.

En el próximo post, te explicaré otro teorema super interesante y te presentaré a mi gran amigo Jacinto.

Conceptos preliminares: Teorema de Tales I

¿Quién es (o en este caso fue) Tales?

Fue muchas cosas, pero lo que nos importa es que era matemático griego del siglo VI a. C. Considerado uno de los Siete Sabios de Grecia, comenzó aplicar el pensamiento deductivo a la geometría y se le atribuyen dos teoremas geométricos.

¿Cuales son esos teoremas?

El primero dice: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra. Permitiéndonos así calcular la longitud de un segmento si conocemos su homólogo en la otra recta y la proporción entre ambos.

Teorema de Tales. Dibujo de Mirian Romero

Esta idea aplicada a un triángulo nos enuncia lo siguiente: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de sus lados, BC; junto con el punto A se obtiene otro triángulo AB'C', semejante cuyos ángulos son iguales y los lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Teorema de Tales. Dibujo de Mirian Romero

Paso a paso: 1^er teorema de Tales

Si quieres hacer el dibujo conmigo necesitarás lápiz y una regla además de escuadra y cartabón

Hacemos dos rectas cualesquiera no paralelas, en nuestro caso f y g. Marcamos un punto en una de las rectas, por ejemplo I.

Por el punto I hacemos una recta, h, que corta a la recta g en el punto J

Hacemos ahora una paralela a la recta h, yo la he llamado i, y obtenemos los puntos K y L. 

Repitiendo el proceso anterior obtengo M y N con la recta j que es paralela a j y a h

Ahora vamos a comprobar si lo que dice Tales es cierto: mide cuidadosamente, por ejemplo, los segmentos IK, JL, KM y LN. Comprueba si se cumple la igualdad de la imagen.

¿Te ha salido? Si quieres puedes comprobar el resto de igualdades y comprobar si se cumplen también.

Si no te sale exacto no pasa nada, hemos podido cometer algún error al dibujar o al medir. 

Te he explicado el proceso con datos genéricos, puede que tu ya tengas algunos de los datos, sólo tienes que usarlos y seguir el proceso.

Hoy hemos aprendido un montón, el segundo teorema es igual de interesante pero tendrás que esperar al siguiente post.

Poco a poco

Hola.

Sí a tí.

Sé que nos acabamos de conocer y que no sé mucho de tí pero si has llegado hasta "Vamos punto a punto" una cosa tengo clara, vamos a hacer juntos un viaje y lo vamos a hacer despacito y con buena letra.  

¿Quien soy yo? Te preguntarás. 

Cierto, que desconsiderado por mi parte no haberme presentado antes que nada. 

Bien, me llamo Mirian Romero y soy Arquitecta técnica y para completar mi formación estoy haciendo el Máster en profesorado de educación secundaria y FP en el ICE de la UPM. 

Ahora sí ¿no?

Un placer conocerte

Lee y aprende pero sobre todo disfruta